Question

已知函数f(x)满足f(α+β)=f(α)+f(β)+αβ，且f(1)=1 (1).求f(n) (2)若f(n)=an,求数列{an}的前n项和

已知函数f(x)满足f(α+β)=f(α)+f(β)+αβ，且f(1)=1 (1).求f(n) (2)若f(n)=an,求数列{an}的前n项和

Answer 1

f(1+0)=f(1)+f(0)+0,f(0)=0,f(1)=1=1
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+1*1=3=1+2
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+1*2=6=1+2+3
f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+1*3=10=1+2+3+4
……
f(n)=1+2+3+4+……+（n-1）+n=n(n+1)/2

Answer 2

f(1+0)=f(1)+f(0)+0
f(0)=0
f(1)=1
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+1*1=1+2
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+1*2=1+2+3
。。。。。。
f(n)=1+2+3+4+……+（n-1）+n=n(n+1)/2