Question

过抛物线x²=2py的焦点f作倾斜角为30的直线过抛物线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴侧），则

过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴侧）， |AF|
则 —— =
|FB|

有种答案为

作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．
则AA1∥OF∥BB1，
∴|AF| / |FB| =|OA1| / |OB1| =|xA| / |xB| ，
又已知xA＜0，xB＞0，
∴|AF| / |FB| =-xA /xB ，
∵直线AB方程为y=xtan30°+p / 2
即y=√3 / 3 x+p / 2 ，
与x2=2py联立得x²-（2√3/3）px -p²=0
∴xA+xB=(2√3)/ 3p，xA•xB=-p²，
∴xAxB=-p²=-（xA+xB / 2√3 / 3 ）²
=-3/ 4 （xA²+xB²+2xAxB）
∴3xA2+3xB2+10xAxB=0
两边同除以xB²(xB²≠0）得
3（xA / xB )²+10(xA / xB) +3=0
∴xA / xB =-3或 -1 / 3 ．
又∵xA+xB=(2√3 / 3)p＞0，
∴xA＞-xB，
∴xA / xB ＞-1，
∴|AF| / |FB| =-xA / xB =-（-1 / 3 ）=1 / 3 ．
故答案为：1 / 3

第三行中，为什么|AF| / |FB| =|OA1| / |OB1| =|xA| / |xB| ？

Answer 1

过B₁作B₁H∥AB，B₁H交A₁A于点H，交OF于点J，则。

∵BF∥B₁J，FJ∥BB₁

∴四边形BFJB₁是平行四边形

∴BF=B₁J

同理AF=HJ

易证Rt△B₁OJ∽Rt△B₁A₁H

∴B₁J/B₁H=B₁O/B₁A₁❶（Rt△B₁OJ∽Rt△B₁A₁H）

∴1-B₁J/B₁H=1-B₁O/B₁A₁

   (B₁H-B₁J)/B₁H=(B₁A-B₁O)/B₁A₁

   JH/B₁H=OA₁/B₁A₁❷

∴❶/❷得

  JH/B₁J=OA₁/OB₁

∵BF=B₁J、AF=HJ

∴|AF|  /  |FB|    =|OA1|  / |OB1|    =|xA|  / |xB|