Question

如果n阶矩阵A满足A²=E,则A的特征值是多少，这题怎么做！！为什么

Answer 1

A²=E等于4。|A^2-2A+E|等于0。

解：因为矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=1，λ3=2，那么|A|=λ1*λ2*λ3=-1*1*2=-2。

又根据|A*| =|A|^(n-1)，可求得 |A*|= |A|^2 = (-2)^2 = 4。

同时根据矩阵特征值性质可求得A^2-2A+E的特征值为n1、n2、n3。

则n1=(λ1)^2-2λ1+1=4，n1=(λ2)^2-2λ2+1=0，n3=(λ3)^2-2λ3+1=1，

则|A^2-2A+E|=n1*n2*n3=4*0*1=0

即A的特征值等于0。

扩展资料

矩阵特征值性质

1、n阶方阵A=(aij)的所有特征根为λ1，λ2，…,λn(包括重根)，则|A=|=λ1*λ2*…*λn。

2、若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

3、若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

4、设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

参考资料来源：百度百科-矩阵特征值

Answer 2

A的每个特征值是1或-1
如果Ax=xc，那么x=AAx=Axc=xcc，所以c^2=1
一般地，如果A的特征值是c1,...,cn，那么f(A)的特征值是f(c1),...,f(cn)

追问

求A的特征值跟c有什么关系

追答

Ax=xc，c是特征值，x是特征向量

追问

我知道了

谢谢啦