设a1=1,an+1+根号(1-an）=0,证明数列an收敛，求出an的极限。
解析如下:
显然an≥1，从而an+1≥2，（n=1，2，3，…）。
因为|an+1−an＝|1+an−1+an−1|=11+an+1+an−1|an−an−1|≤12|an−an−1|，（n=2，3，…），所以{an}是压缩数列，从而{an}收敛，设limn→∞an＝a，则a≥2。
an为一个单调数列。单调数列必有极限，极限具有唯一性。那么就an+1的极限=an的极限，取数列的极限为A。A+√（1-A）=0解出一元二次方程A就是数列的极限。
本题可以证明数列{an}是压缩数列，从而得到数列{an}的收敛性；再利用递推公式可以计算极限值；本题可以证明数列{an}是单调有界数列，从而得到其收敛性。
相关释义
数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。
著名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。
显然an≥1，从而an+1≥2，（n=1，2，3，…）。
因为|an+1−an＝|1+an−1+an−1|=11+an+1+an−1|an−an−1|≤12|an−an−1|，（n=2，3，…），所以{an}是压缩数列，从而{an}收敛，设limn→∞an＝a，则a≥2。
根号2是将递推公式中an，an-1换成x后，（特征）方程x=1+1/(x+1)的两个根，这是求解一次分式线性递推数列的一般方法。
函数收敛
定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。
收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。
如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。
极限存在准则设数列极限为A
由A＝-√1-A得知A＜0，
A²-A+1＝0
求得2个解
A＝（-1±√5）/2
舍去正解
参考下例
