Question

证明多项式粉f(x)=x^5-5x+1在有理数域上不可约

证明多项式粉f(x)=x^5-5x+1在有理数域上不可约

Answer 1

根据广义的韦达定理，多项式f(x)=x^5-5x+1=0的解只可能是1或者-1，而当x=1或者x=-1时，多项式f(x)=x^5-5x+1有都不等于0，所以，这个多项式在有理数域不可约。

Answer 2

一楼答案虽然对了，但是过程却是错的。比如f(x)=(x∧2+x+3)(x∧2+x+5)这个多项式，它在有理数域内也没有有理根，但是它却是可约的。一楼的方法只适用于三次函数，当次数大于等于4后，就不能用是否有有理根来判断多项式是否可约。