Question

19题第一问证明，用几何法谢谢

19题第一问证明，用几何法谢谢我用几何法证出PE垂直于MN，但不会证PE垂直于NF或MF，谢谢
我有想过用向量证另一对垂直但还得设BC和CD的边长

Answer 1

（1）
取AD的中点为H，令AC∩BD＝O。
∵PA＝PD、H∈AD且AH＝DH，∴PH⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PH⊥平面ABCD，∴PH⊥EH，而∠PEH＝45°，∴PH＝EH、PE＝√2PH。
∵PF＝3EF，∴PE＋EF＝4EF，∴PE＝4EF＝√2PH，∴EF＝（√2/4）PH。
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∵ABCD是矩形，∴O是AC的中点，又E是BC的中点，∴EO＝（1/2）AB。
∵ABCD是矩形且E、H分别是BC、AD的中点，∴ABEH是矩形，∴AB＝EH＝PH，
∴EO＝（1/2）AB＝（1/2）PH，∴EF/EO＝（√2/4）/（1/2）＝√2/2＝cos∠OEF，
∴EF⊥FO，∴PE⊥FO。
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∵ABCD是矩形，又M、O、N分别是AB、AC、CD的中点，
∴M、O、N共线且BCNM是矩形，∴MN⊥AB，而E、O分别是BC、AC的中点，
∴AB∥OE。
由MN⊥AB、AB∥OE，得：MN⊥EO。
∵ABCD是矩形且E、O、H分别是BC、AC、AD的中点，∴E、O、H共线，∴MN⊥EH。
∵PH⊥平面ABCD，∴MN⊥PH，又MN⊥EH、EH∩PH＝H，∴MN⊥平面PEH，
∴PE⊥MN。
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∵PE⊥FO、PE⊥MN、FO∩MN＝O，∴PE⊥平面MNF。