Question

计算二重积分∫ ∫Dx^2dσ,其中D是由圆x^2+y^2=4和x^2+y^2=16之间的环形区域

Answer 1

∫∫dxdy表示积分区域D的面积，而D：4≥x^2+y^2≥2表示圆心在原点，半径分别为√2和2的两个圆之间的圆环，所以：∫∫dxdy = π*2^2 - π*(√2)^2 = 2π。

解：∫∫<D>xy²dxdy=∫<-π/2,π/2>dθ∫<0,2>(rcosθ)*(rsinθ)²*rdr (应用极坐标变换)

=∫<-π/2,π/2>(cosθsin²θ)dθ∫<0,2>r^4dr

=∫<-π/2,π/2>sin²θd(sinθ)∫<0,2>r^4dr

=[(sin³θ/3)│<-π/2,π/2>]*[(r^5/5)│<0,2>]

=(1/3+1/3)*(2^5/5)

=64/15

意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

∫∫dxdy表示积分区域D的面积，而D：4≥x^2+y^2≥2表示圆心在原点，半径分别为√2和2的两个圆之间的圆环，所以：
∫∫dxdy = π*2^2 - π*(√2)^2 = 2π

Answer 3

x^2+y^2=4=2^2

所以半径是2

x=ρcosθ

y=ρsinθ

所以ρ²cos²θ-ρsin²θ=16

ρ²(cos²θ-sin²θ)=16

ρ²cos2θ=16

扩展资料

半径是2，标准方程是x^2+y^2=r^2。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。