Question

隐函数求导的问题！

书上一道例题是e^y-xy-1=0，求y'
这道题目不太理解。
“将e^y看做以y为中间变量的复合函数”。哪位高手可以详细的解释下这句话。谢谢。

得e^y*y’-y-x*y’。
这个式子怎么出来的，能否逐一讲解一下？

初学，见笑了。

Answer 1

将e^y看做以y为中间变量的复合函数
解释：因为e^y求导最终是一个关于x的函数，设y=f(x)
g[f(x)]=g(y)=e^y=e^f(x)
由此可以看出y只是一个中间变量，其实真正的自变量是x
g(y)=e^y只是一个复合函数

求导：复合函数求导法则：[g(f(x))]'=g'(f(x))f'(x)
分开来求导，因为你是初学，我只能来分步给你说，始终要遵循复合函数求导公式
(e^y)'=e^y*y'
因为y只是一个中间变量，e^y是复合函数，求导结果要乘以y'
同理(xy)'=x'y+xy'=y+xy'(乘法的求导你应该懂吧）
∴对e^y-xy-1=0的求导结果是e^y*y'-y-x*y'=0
解出y'=y/(e^y-x)

Answer 2

对于隐函数来说，因为函数关系式y＝f(x)不一定求得出来，所以y对x的导数的表示式中一般也出现y. 原函数求导的方法是方程两边对x求导，需要注意的是y是x的函数，所以关于y的函数e^y对x求导时，是一个复合函数求导的问题，y相当于中间变量. 一定不要丢了对y的求导

例如：1、设y=y(x)由方程cos(x+y)+y=1确定，求dy/dx
解：将所给式子两端关于x求导可得到
-sin(x+y)*(x+y)'+y'=0
-sin(x+y)*(1+y')+y'=0
y'=sin(x+y)/【1-sin(x+y)】
2、设y=y(x）是由方程e^x-e^y=sin(xy)所确定，求y',y'|x=0
解：e^x-e^y*y'=cos(xy)*(xy)'
e^x-e^y*y'=cos(xy)*(y+xy')
e^x-e^y*y'=y*cos(xy)+xy'*cos(xy)
移项得y'=[e^x-ycos(xy)]/[e^y+xcos(xy)]

Answer 3

http://wenku.baidu.com/view/f432b5c30c22590102029d37.html

用公式求导，so easy