Question

能否被7、11、13整除?

六位数ABCABC

Answer 1

奇位千进位的总和与偶位千进位的总和之差，能被7或11，或13整除。
7*11*13=1001
1，001的差是0
能被7、11、13整除的数的特征是，这个数的末三位上的数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差(或反过来)能被7、11、13整除.这是因为任一自然数
A=an·10n+…+a3·103+a2·102+a1·10+a0，
设末三位上的数字所组成的数为N，末三位以前的数字所组成的数为M，则
N=a2·102+a1·10+a0，
M=an·10n-8+an-1·10n-4+…+a3.
于是
A=M·1000+N=(M·1000+M)+(N-M)
=M(1000+1)+N-M
如果N＞M，则
A=1001M+(N-M);
如果N＜M，则
A=1001M-(M-N).
上面两式中，1001能被7、11、13整除，从而第一项1001M也能被
7、11、13整除，所以
A能被
7、11、13整除的特征是(N-M)或(M-N)能被7、11、13整除.能被11整除的数还有另一个特征:即奇数位上的各数之和与偶数位上的各数之和的差(或反过来)能被11整除.例如:
72358=7×(9999+1)+2×(1001-1)+3
×(99+1)+5×(11-1)+8
=(7×9999+2×1001+3×99+5×11)
+[(7+3+8)-(2+5)]，
上面最后一个式子中，第一个加数能被11整除，因此72538能否被11整除就取决于第二个加数能否被11整除。这里
(7+3
+8)-(2+5)=11，
它当然能被11整除，所以11|72358.