Question

在等腰三角形ABC中,∠DAE=10°,∠EAB=70°,∠EBD=20°,∠DBA=60°.求∠DEA的度数.

要求：不要做辅助线
用相似三角形定理

Answer 1

证明：以BC为边向左作等边△BCF，连接EF，以EF为边向下作等边△EFG，连接AG, AF ,FD
则CF=BC=BF
∠CBF=∠BFC=∠BCF=60°
EF=EG=FG
∠EFG=∠FGE=∠FEG=60°
∵∠DAE=10°
∠EAB=70°
∴∠BAC=∠DAE+∠EAB=10+70=80°
∵∠ABC=∠DBA+∠DBE
∠DBA=60度
∠DBC=20度
所以∠ABC=80度
因为∠ABC+∠ACB+∠BAC=180度
所以∠ACB=20度
∠BAC=∠ABC=80度
所以AC=BC
∠ACB=∠DBC=20度
所以CD=BD
因为DF=DF
所以三角形CDF和三角形BDF全等（SSS)
所以∠CFD=∠BFD=1/2∠BFC=30度
因为∠ACF=∠BCF-∠ACB=60-20=40度
AC=CF
所以∠AFC=∠FAC
因为∠AFC+∠FAC+∠ACF=180度
所以∠FAC=∠AFC=70度
因为∠ADF=∠ACF+∠CFD=30+40=70度
所以∠FAC=∠ADF=70度
所以AF=DF
因为∠ADF+∠FAC+∠AFD=180度
所以∠AFD=40度
因为∠AFB=∠AFC-∠BFC=70-60=10度
所以∠AFB=∠DAE=10度
因为∠ABF=∠ABC-∠CBF=80-60=20度
所以∠ABF=∠ACB=20度
因为BF=AC（已证)
所以三角形ABF和三角形ECA全等（ASA)
所以AF=AE
所以∠AFE=∠AEF
因为AG=AG
FG=EG（已证）
所以三角形AFG和三角形AEG全等（SSS)
所以∠AGF=∠AGE=1/2∠FGE=30度
因为∠FAE=∠FAC+∠DAE=10+70=80度
∠AFE+∠AEF+∠FAE=180度
所以∠AFE=∠AEF=50度
因为∠DFE=∠AFE-∠AFD=50-40=10度
∠AFG=∠EFG-∠AFE=60-50=10度
所以∠DFE=∠AFG=10°因为EF=FG(已证）
AF=DF（已证）
∴△AFG≌△DFE（SAS)
∴∠AGF=∠DEF
∴∠DEF=30°
∵∠DEA=∠AEF-∠DEF=50-30=20°
∴∠DEA=20°

追问

你说的是不是这种方法？这种方法太复杂，我需要一个简单的求证方法，我想的是求证三角形deo(db和ae交点o）相似三角形deb然后再算，可以吗？

追答

不可以，那样可能需要辅助线

追问

那加辅助线怎么做？

Answer 2

设AB=1 AD=x AE=y 所求角=A
sin60/x=sin40/1
sin80/y=sin30/1
sinA/x=sin(170-A)/y
可以解得A=20,不过接起来有点麻烦，得用计算器。