Question

绝对值方程通用解法--请教高手？

1. ｜X-3｜=｜X-1｜
2. ｜x-5｜+｜x+3｜=8
类似这样的题，从数轴上可以 分析出来结果，可是容易漏掉解，想知道通用的解题方法。

Answer 1

第一题可以有两种方法：
①因为|x-3|=√(x-3)²，|x-1|=√(x-1)²
所以可以两边平方得：(x-3)²=(x-1)²
然后解方程即可
②绝对值可以有正负两个值，所以去掉绝对值号后有：x-3=±(x-1)或者也可以是±(x-3)=x-1，然后解方程。
第二题用两边平方的方法过于复杂，那就用去绝对值号的方法。 先令x-5=0，则x=5，同理x=-3
然后确定一个区间，去绝对值号：
i) 当x≤-3时：x-5<0，x+3≤0
则原式=-(x-5)+[-(x+3)]=2-2x=8
解得：x=-3，则已限定的区间内，所以是方程的解
ii) 当-3<x<5时：x-5<0，x+3>0
则原式=-(x-5)+(x+3)=8，等式恒成立
即在这个区间内任意实数都是方程的解
iii) 当x≥5时：x-5≥0，x+3>0
则原式=x-5+(x+3)=2x-2=8
解得：x=5，在已限定的区间内，是方程的解
综合得：在-3≤x≤5内任意实数都是方程的解

Answer 2

数轴上一点与数轴上两点距离问题

1.   点 x 与点 3、1 距离相等

   当然是点 3、1 的中点 x=2 

   其他解法：两边平方……

2. 点 x 到点 5、-3 距离之和等于8

   当然是 -3≤x≤5

   其他解法：分区讨论……

Answer 3

到1和3距离相等的点是2，到-3和5距离之和为8的点取值在-3和5之间，可以取到-3和5！

Answer 4

对于含有一个绝对值的可以进行讨论，丨x丨=a，x=±a，两个或者是两个以上的，分正负。

Answer 5

学过完全平方公式吗
①x≥3,x-3=x-1,无解
1≤x<3
3-x=x-1
x=2
x<1,3-x=1-x，无解
故x=2
②分段讨论