Question

如果矩阵A的秩是n，特征值是m，那么矩阵（A-mE）的秩还是n吗，为什么？

Answer 1

如果A的阶数是N, m是A的特征值, 那么A-mE的秩一定小于N
但条件仅有A的秩是n, 这样只知道n<=N而没有额外的信息, 所以无法判定出A-mE的秩和n的大小关系
可以举例说明三种大小关系都有可能出现, 比如A=diag{0,0,1,1,1,2}, n=4, 把m分别取成0,1,2可以出现三种不同的大小关系

Answer 2

矩阵A的特征值为m的一个特征向量为a则Aa＝ma，Aa－ma＝0既(A－mE)a＝0有解，所以(A－mE)的秩＝a的维数(就是方程解的个数)＝A的秩也就是n

追问

你这显然有问题啊，写个单位阵看看去

追答

不好意思，考虑不周，应该是这样的：
矩阵A的特征值为m的一个特征向量为a则Aa＝ma，Aa－ma＝0既(A－mE)a＝0有非零解，所以 |A－mE|＝0，既(A－mE)的秩＜他的行数≠A的秩也就是n

Answer 3

题目不完备。
如果是 n 阶矩阵 A 的秩为 n， 即 A为满秩矩阵， 其中一个特征值为 m， 则必有
|A-mE| = 0， 必有 r(A-mE) < n。
如果是 n+1 阶（或更高阶）矩阵 A 的秩为 n，即 A 为降秩矩阵，结果则不一定。
例如 3 阶矩阵 A =
[1 0 0]
[0 0 0]
[0 0 0]
特征值是 1， 0， 0, 秩 n = 1。
对于 特征值 m = 1，有 |A-mE| = 0 ， r(A-mE) = 2 > n = 1；
对于 特征值 m = 0，有 |A-mE| = 0 ， r(A-mE) = 1 = n = 1。

Answer 4

肯定是小于n的，因为m的求解方法就是det(A-mE)=0，既然det(A-mE)=0了，A-mE的秩肯定小于n