Question

2. 有三角形ABC经测量,AB=4kmBC=6km∠ABC=60，内取一点o，求OAOBOC最小

Answer 1

要求 OAOBOC 最小，我们需要找到点 O，使得 OA + OB + OC 的和最小。根据三角形几何性质，点 O 应该位于三角形 ABC 的重心 G 处，即三条中线交汇的点。
首先，我们知道三角形 ABC 的中线通过连接每个顶点和对边中点形成。设 D、E 和 F 分别为 BC、CA 和 AB 的中点。由题目给出的边长信息可知，AD = BE = CF = 2km。
由于垂直相交的三角形中位线等于 2:1，我们可以得到以下关系：
AG = 2/3 * AD = 4/3 km
BG = 2/3 * BE = 4/3 km
CG = 2/3 * CF = 4/3 km
现在，连接 O 到每个顶点 A、B 和 C，并且绘制中线 OG。根据三角形几何性质，我们可以看出 OAOBOC 是一个平行四边形。由平行四边形性质可知，两对对边之间的距离相等。
所以我们有 OA + OC = AG + CG = 4/3 km + 4/3 km = 8/3 km
同理，OB = BG = 4/3 km
因此，OAOBOC 的最小值为 (8/3 km) + (4/3 km) = 4 km
所以，当点 O 位于三角形 ABC 的重心时，OAOBOC 的和最小为 4 km。