Question

幻方数学题

巧填方阵图：将0，1，2，3，4，-1，-2，-3，-4这9个数分别填入格中，使得下图的九个空格中，每行，每列，斜对角的三个数相加得0.

图：（3）（-4）（1 ） 数本人已填出，请各位说说理由，为什
（-2）（0 ）（2 ） 要这样填，幻方到底有什么规律?
（ -1）（4 ）（3 ） (所有幻方的规律）还要出一些幻方题
（书上的）别自己瞎出，然后给出答案。
好的加10分！！快。

Answer 1

n阶幻方的填法(n≥3) 收藏
幻方，亦称纵横图。台湾称为魔术方阵。将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。
例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。

8 1 6
3 5 7
4 9 2

n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。

1、奇数阶幻方
n为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……)

奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯方)。填写方法是这样：

把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n*n-1个数：
(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；
(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。

这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

2、双偶阶幻方
n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)

先说明一个定义：
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16

这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；
把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 下面是8阶幻方的作法：
(1) 先把数字按顺序填。然后，按4*4把它分割成2*2个小方阵

1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64

(2) 每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。

64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1

3、单偶阶幻方
n为偶数，且不能被4整除 (n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)
这是三种里面最复杂的幻方。

以n=10为例。这时，k=2

(1) 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

A B

C D

17 24 1 8 15 67 74 51 58 65
23 5 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 13 20 22 54 56 63 70 72
10 12 19 21 3 60 62 69 71 53
11 18 25 2 9 61 68 75 52 59
92 99 76 83 90 42 49 26 33 40
98 80 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 88 95 97 29 31 38 45 47
85 87 94 96 78 35 37 44 46 28
86 93 100 77 84 36 43 50 27 34

(2) 在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。

>>>

17 24 1 8 15 67 74 51 58 65
23 5 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 13 20 22 54 56 63 70 72
10 12 19 21 3 60 62 69 71 53
11 18 25 2 9 61 68 75 52 59
92 99 76 83 90 42 49 26 33 40
98 80 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 88 95 97 29 31 38 45 47
85 87 94 96 78 35 37 44 46 28
86 93 100 77 84 36 43 50 27 34

(3) 将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。

92 99 1 8 15 67 74 51 58 65
98 80 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 88 95 22 54 56 63 70 72
85 87 19 21 3 60 62 69 71 53
86 93 25 2 9 61 68 75 52 59
17 24 76 83 90 42 49 26 33 40
23 5 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 13 20 97 29 31 38 45 47
10 12 94 96 78 35 37 44 46 28
11 18 100 77 84 36 43 50 27 34

(4) 在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0所以不用再作B、D象限的数据交换)

<<<

92 99 1 8 15 67 74 51 58 65
98 80 7 14 16 73 55 57 64 66
4 6 88 95 22 54 56 63 70 72
85 87 19 21 3 60 62 69 71 53
86 93 25 2 9 61 68 75 52 59
17 24 76 83 90 42 49 26 33 40
23 5 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 13 20 97 29 31 38 45 47
10 12 94 96 78 35 37 44 46 28
11 18 100 77 84 36 43 50 27 34

(5) 将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，即可完成。

92 99 1 8 15 67 74 26 58 65
98 80 7 14 16 73 55 32 64 66
4 6 88 95 22 54 56 38 70 72
85 87 19 21 3 60 62 44 71 53
86 93 25 2 9 61 68 50 52 59
17 24 76 83 90 42 49 51 33 40
23 5 82 89 91 48 30 57 39 41
79 81 13 20 97 29 31 63 45 47
10 12 94 96 78 35 37 69 46 28
11 18 100 77 84 36 43 75 27 34

Answer 2

我是一个小学六年级的女孩，我不愿搞那些复杂的玩艺儿，告诉你一条秘诀：“九子斜列，上下对易，左右相更，四维挺出”。不理解就问我，啊！（三阶幻方专用，所有幻方规律不同）

Answer 3

0是平均数
可知0必放中心
如123456789
添入格中
中间数为5
使任意相加后为15(3倍平均数)
可自己体会

Answer 4

小学奥数上的啊
我都忘了
”一居上格正中央，依次斜填切莫忘，左出框时往下填，右出框时左边放``````"后面的忘了

Answer 5

九子斜排
上下对易
左右相更
四维挺出