Question

已知xy都是正数，且2/x+1/y=1则x+y的最小值

急用谢谢

Answer 1

因x > 0, y > 0，原式可化为
2y + x = xy
化为y与x的关系式
(2 - x)y = -x
y = -x / (2 - x)
y = 1 - 2 / (2 - x), (x > 2)
本题求x + y，即是求
x + y = x + 1 - 2 / (2 - x)
的最小值。
这个式子一眼看不明白。但是看看它的形式，应该可以化为勾函数。
x + 1 - 2 / (2 - x)
= (x - 2) + 3 - 2 / (2 - x)
= -(2 - x) - 2 / (2 - x) + 3, (x > 2)
设a = x - 2, a > 0，上式化为
a + 2 / a + 3, (a > 0)
它在a = Sqrt(2)时取最小值3 + 2 Sqrt(2)。（勾函数性质，或者可以求导得到结论。）
所以
Min(x + y) = Min(a + 2 / a + 3) = 3 + 2 Sqrt(2)

此时 x = 2 + Sqrt(2), y = 1 + Sqrt(2)

注：Sqrt是根号的意思。

Answer 2

x+y=(x+y)*1=（x+y）*（2/x+1/y）=3+2*y/x+x/y;
根据均值定理可知
正数x,y,满足x/y和y/x 都是正数，
∴x+y≥3+2倍根号2；