Question

"1/(tanx)^4"的积分

对x的不定积分。

Answer 1

∫1/(tan⁴x)dx

=∫(cos⁴x)/(sin⁴x)dx

=∫(cos³x)/(sin⁴x)dsinx

=∫(-1/3)cos³xdsin⁻³x

=(-1/3)cos³xsin⁻³x-∫sin⁻³xd[(-1/3)cos³x]

=(-1/3)cos³xsin⁻³x-∫cos²xsin⁻²xdx

=-1/(3tan³x)-∫cot²xdx

=-1/(3tan³x)-∫(csc²x-1)dx

=(-1/3)cot³x+cotx+x+C

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

∫1/(tan⁴x)dx
=∫(cos⁴x)/(sin⁴x)dx
=∫(cos³x)/(sin⁴x)dsinx
=∫(-1/3)cos³xdsin⁻³x
=(-1/3)cos³xsin⁻³x-∫sin⁻³xd[(-1/3)cos³x]
=(-1/3)cos³xsin⁻³x-∫cos²xsin⁻²xdx
=-1/(3tan³x)-∫cot²xdx
=-1/(3tan³x)-∫(csc²x-1)dx
=(-1/3)cot³x+cotx+x+C

Answer 3

x -(cotx)^3/3+ cotx +C

追问

非常感谢。不过，请问可以有一些过程吗？