Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0交于A。B两点,且向量OA⊥向量OB

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0交于A。B两点,且向量OA⊥向量OB (1)求证：满足上述条件的各个椭圆过定点（根号2/2，根号2/2） (2)若椭圆长轴长的取值范围时[根号5，根号6]，求椭圆离心率e的取值范围

Answer 1

设A（x,y),B(x1,y1) 联立二式： x^2/a^2+y^2/b^2=1 x+y-1=0 得x(1/a+1/b)-2x/b+(1-b)/b=0 则x+x1=2a/(a+b),xx1=2(a-ab)/(a+b) OB.OA=xx1+yy1=1-(x+x1)+2xx1 代换得：2ab=a+b 若有椭 圆过（√2/2，√2/2） 则1/2/a+1/2/b=1 即2ab=a+b，和求得的一样∴得证 （2）将b=a-c代入2ab=a+b 得1+c-a=c/2a,将e=c/a代入 得e=(1-a)/(1-2a) 设a=k,k∈[5,6] e=(1-a)/(1-2a)=(1-k)/(1-2k)=1/2+1/(2-4k)∈[4/9,5/11] ∴2/3≤e≤√5/11 望采纳！！