Question

设f（x）是定义在R上的增函数，令g（x）=f（x）-f（2010-x）（1）求证g（x）+g（2010-x）时定值；（2）判

设f（x）是定义在R上的增函数，令g（x）=f（x）-f（2010-x）（1）求证g（x）+g（2010-x）时定值；（2）判断g（x）在R上的单调性，并证明；（3）若g（x1）+g（x2）＞0，求证x1+x2＞2010．

Answer 1

（1）∵g（x）=f（x）-f（2010-x），
∴g（x）+g（2010-x）=f（x）-f（2010-x）+f（2010-x）-f（x）=0为定值．
（2）g（x）在R上的增函数，设x₁＜x₂，则2010-x₁＞2010-x₂，
∵f（x）是R上的增函数∴f（x₁）＜f（x₂），f（2010-x₁）＞f（2010-x₂）
故g（x₁）-g（x₂）=f（x₁）-f（2010-x₁）-f（x₂）+f（2010-x₂）=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2010-x₂）-f（2010-x₁）]＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），∴g（x）在R上的增函数．
（3）假设x₁+x₂≤2010，则x₁≤2010-x₂ ，故g（x₁）≤g（2010-x₂），
又g（2010-x₂）=-g（x₂），
∴g（x₁）+g（x₂）≤0，这与已知g（x₁）+g（x₂）＞0矛盾，
∴x₁+x₂＞2010．