Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4，（

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4，（Ⅰ）求证：BC⊥PC； （Ⅱ）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）作CE⊥AB于点E，则AE=EB=CE=2，BC= ， 连接AC，则AC= ， 故∠ACB=90°，即AC⊥CB， 又PA⊥平面ABCD，故PA⊥BC， 因此BC⊥平面PAC， 从而BC⊥PC。 （Ⅱ）由（Ⅰ）得BC⊥平面PAC， 故∠BPC为直线PB与平面PAC所成角， 在Rt△PAB中，PB= ， ， 即直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 。