Question

如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB ∥ CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=

如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB ∥ CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求二面角B-PC-A的余弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4）， ∴ PC =(-2，4，-4) ， BD =(-2，-1，0) ， ∴ PC ? BD =0 所以PC⊥BD． （Ⅱ）易证 BD 为面PAC的法向量， 设面PBC的法向量n=（a，b，c）， PB =(0，1，-4)， BC =(-2，3，0) 所以 n ? PB =0 n ? BC =0 ? b=4c a=6c 所以面PBC的法向量n=（6，4，1）， ∴cosθ=- 16 265 ． 因为面PAC和面PBC所成的角为锐角， 所以二面角B-PC-A的余弦值为 16 265 ．