Question

已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（x）的解析式

已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=（a+1）f（x）-a[f（x+1）-x]在区间（-1，2）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），
令x=1，y=0，得，f（1）-f（0）=1（1+1）=2，
∴f（0）=-2，∴f（x+0）-f（0）=x（x+1），
∴f（x）═x²+x-2．
（2）g（x）=x²+（1-a）x-2（a+1），
∵g（x）在区间（-1，2）上是单调函数；
∴

a?1

2

≥2或

a?1

2

≤?1，
即a≥5或a≤-1；
故实数a的取值范围为（-∞，-1]∪[5，+∞）．