已知函数f(x)=ln(x+1)?axx+2,它在原点处的切线恰为x轴.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:当x>0时,
已知函数f(x)=ln(x+1)?axx+2,它在原点处的切线恰为x轴.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:当x>0时,f(x)>0;(3)证明:ln2?ln3…lnn...
已知函数f(x)=ln(x+1)?axx+2,它在原点处的切线恰为x轴.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:当x>0时,f(x)>0;(3)证明:ln2?ln3…lnn>2n (n+1)2 (n∈N,n≥2).
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(1)由题意f(x)=ln(x+1)?
得,
f′(x)=
-
,
由于函数f(x)=ln(x+1)?
在原点处的切线恰为x轴.
∴f′(0)=0,即1-
=0,
∴a=2.
∴f(x)的解析式f(x)=ln(1+x)-
,
(2)当x≥0时,f′(x)=
≥0,
∴f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(0)=0,
∴当x>0时,f(x)>f(0)=0,
即当x>0时,f(x)>0.
(3)由(2)知,当x>0时,ln(1+x)>
,
∴ln2>
,ln3>
,ln4>
,…,lnn>
,(n≥2),
以上各式相乘,得ln2?ln3…lnn>
>
(n∈N,n≥2),
从而结论成立.
ax |
x+2 |
f′(x)=
1 |
x+1 |
2a |
(x+2)2 |
由于函数f(x)=ln(x+1)?
ax |
x+2 |
∴f′(0)=0,即1-
2a |
4 |
∴a=2.
∴f(x)的解析式f(x)=ln(1+x)-
2x |
x+2 |
(2)当x≥0时,f′(x)=
x2 |
(x+1)(x+2)2 |
∴f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(0)=0,
∴当x>0时,f(x)>f(0)=0,
即当x>0时,f(x)>0.
(3)由(2)知,当x>0时,ln(1+x)>
2x |
x+2 |
∴ln2>
2 |
3 |
4 |
4 |
2×3 |
5 |
2×(n?1) |
n+1 |
以上各式相乘,得ln2?ln3…lnn>
2n |
n(n+1) |
| ||
|
从而结论成立.
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