Question

设函数f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上的偶函数，且满足f（1-x）=f（1+x）（x∈R）．（1）求函数f（x）

设函数f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上的偶函数，且满足f（1-x）=f（1+x）（x∈R）．（1）求函数f（x）的周期；（2）已知当x∈（-1，1]时，f（x）=1-1?x2，求使方程f（x）=ax在x∈（-1，1]上有两个不相等实根a的取值集合M；（3）记Ik=（2k-1，2k+1]（k∈N，k≥1），Mk表示使方程f（x）=ax在x∈Ik上有两个不相等实根的a的取值集合，求集合Mk．

Answer 1

（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴f（x+2）=f（-x）=f（x），
∴f（x）是以2为周期的函数．
（2）当x∈（-1，1]时，
f(x)＝1?

1?x2

，
即y＝1?

1?x2

．
可化为：x²+（y-1）²=1且y≤1，
平面直角坐标系中表示以（0，1）为圆心，半径为1的半圆．
方程f（x）=ax在x∈（-1，1]上有两个不相等实根即为直线y=ax与该半圆有两交点
记A（-1，1），B（1，1），得直线OA、OB斜率分别为-1，1．
由图形可知直线y=ax的斜率满足-1＜a≤1且a≠0时与该半圆有两交点
故所求a的取值集合为M₀=（-1，0）∪（0，1]．
（3）函数f（x）的周期为2，
∴f（x-2k）=f（x）（k∈Z），
当x∈I_k时，（x-2k）∈（-1，1]，
∴f(x)＝f(x?2k)＝1?

1?(x?2k)2

，
∴f（x）的解析式为：f(x)＝1?

1?(x?2k)2

，x∈I_k．
即y＝1?

1?(x?2k)2

．
可化为：（x-2k）²+（y-1）²=1且y≤1．
平面直角坐标系中表示以（2k，1）为圆心，半径为1的半圆．
方程f（x）=ax在x∈I_k上有两个不相等实根即为直线y=ax与该半圆有两交点．
记A_k（2k+1，1），得直线OA_k的斜率为

1

2k+1

．
由图形可知直线y=ax的斜率满足0＜a≤

1

2k+1

时与该半圆有两交点．
故所求a的取值集合为 Mk＝{a|0＜a≤

1

2k+1

}．