Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 acosB-bcosA= 3 5 c ．（1）求tanAcotB的值

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 acosB-bcosA= 3 5 c ．（1）求tanAcotB的值；（2）求tan（A-B）的最大值．

Answer 1

（1）在△ABC中，由正弦定理及 acosB-bcosA= 3 5 c 可得 sinAcosB-sinBcosA= 3 5 sinC= 3 5 sin(A+B)= 3 5 sinAcosB+ 3 5 cosAsinB 即sinAcosB=4cosAsinB，则tanAcotB=4； （2）由tanAcotB=4得tanA=4tanB＞0 tan(A-B)= tanA-tanB 1+tanAtanB = 3tanB 1+4 tan 2 B = 3 cotB+4tanB ≤ 3 4 当且仅当 4tanB=cotB，tanB= 1 2 ，tanA=2 时，等号成立， 故当 tanA=2，tanB= 1 2 时，tan（A-B）的最大值为 3 4 ．