Question

设函数 f(x)=lnx+ a x-1 在(0， 1 e ) 内有极值．（1）求实数a的取值范围；（2）若x 1

设函数 f(x)=lnx+ a x-1 在(0， 1 e ) 内有极值．（1）求实数a的取值范围；（2）若x 1 ∈（0，1），x 2 ∈（1，+∞），求证： f( x 2 )-f( x 1 )＞e+2- 1 e ．

Answer 1

（1）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞） 求导函数 f′(x)= 1 x - a (x-1) 2 = x 2 -(a+2)x+1 x (x-1) 2 ∵函数 f(x)=lnx+ a x-1 在 (0， 1 e ) 内有极值 ∴f′（x）=0在 (0， 1 e ) 内有解，令g（x）=x 2 -（a+2）x+1=（x-α）（x-β） ∵αβ=1，不妨设 0＜α＜ 1 e ，则β＞e ∵g（0）=1＞0， ∴ g( 1 e )= 1 e 2 - a+2 e +1＜0 ， ∴ a＞e+ 1 e -2 （2）证明：由f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β ∴f（x）在（0，α）内递增，在（α，1）内递减，在（1，β）内递减，在（β，+∞）递增 由x 1 ∈（0，1），可得 f( x 1 )≤f(α)=lnα+ a α-1 由x 2 ∈（1，+∞），可得 f( x 2 )≥f(β)=lnβ+ a β-1 ∴f（x 2 ）-f（x 1 ）≥f（β）-f（α） ∵αβ=1，α+β=a+2 ∴ f(β)-f(α )=2lnβ+a× α-β (β-1)(α-1) = 2lnβ+a× 1 β -β 2-(a+2) = 2lnβ+β - 1 β 记 h(β)=2lnβ+β - 1 β (β＞e) 则h′（β）= 2 β +1+ 1 β 2 ＞0，h（β）在（0，+∞）上单调递增 ∴ h(β)＞h(e)=e+2- 1 e ∴ f( x 2 )-f( x 1 )＞e+2- 1 e