Question

设点p是椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△

设点p是椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是______．

Answer 1

设△PF₁F₂的内切圆半径为r，则
S_△IPF1=

1

2

|PF₁|?r，S_△IPF2=

1

2

|PF₂|?r，S_△IF1F2=

1

2

|F₁F₂|?r，
∵S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2，
∴

1

2

|PF₁|?r+

1

2

|PF₂|?r=|F₁F₂|?r，可得|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．
∴椭圆的离心率e=

c

a

=

2c

2a

=

|F1F2|

|PF1|+|PF2|

=

1

2

故答案为：

1

2