Question

已知：如图，在 ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠

已知：如图，在 ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2。 （l）若CF=2，AE=3，求BE的长；（2）求证： 。

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Answer 1

解：（1）∵CF=2，点F为CE的中点，∴CE=4。 ∵CE=CD，∴CD=4。 ∵四边ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4。 ∵ AE⊥BC，AE=3，∴ 。 （2）如图，过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH。 ∵∠1=∠2，∠C=∠C，CE=CD， ∴△CEG≌△CDF（AAS）。∴CG=CF。 ∵点F为CE的中点，∴点G为CD的中点。 ∴点H为AE的中点，即GH是AE的垂直平分线。 ∴GA=GE。∴∠EGH=∠AGH。 ∴ 。

（1）根据平行四边形对边相等的性质，由已知，经过等量代换得到直角三角形ABE的AB长，从而由已知的AE长，应用勾股定理可求得BE的长。 （2）过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH，通过△CEG≌△CDF得到点G为CD的中点，从而确定GH是AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到GA=GE，进而根据等腰三角形三线合一的性质，得∠EGH=∠AGH，从而得证。