Question

在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且|AM|=2|MB|，（1

在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且|AM|=2|MB|，（1）若点M的轨迹为曲线C，求其方程；（2）过点P（0，1）的直线l与曲线C交于不同两点E、F，N是曲线上不同于E、F的动点，求△NEF面积的最大值．

Answer 1

（1）设A（x₀，0），B（0，y₀），M（x，y）
∵|AM|=2|MB|，
∴

x?x0＝?2x y＝2y0?2y

，
∴x₀=3x，y₀=

3

2

y，
∵长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，
∴x₀²+y₀²=9
∴x2+

y2

4

=1，
∴曲线C的方程是x2+

y2

4

=1    …..（4分）
（2）当直线的斜率不存在时，即l：x=0，此时（S_△NEF）_max=2  …..（5分）
当直线的斜率存在时，设l：y=kx+1，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
y=kx+1代入椭圆方程，可得（4+k²）+2kx-3=0，
有x₁+x₂=-

2k

4+k2

，x₁x₂=-

3

4+k2

，
∴|EF|=

(1+k2)[ 4k2 (4+k2)2 + 12 4+k2 ]

…..（7分）
由题知过N的直线l′∥l，且l′与椭圆切于N点时，S_△NEF最大，
故设l′：y=kx+b（b≤-2）
联立l′与椭圆方程得（4+k²）+2kbx+b²-3=0，此时△=0，可得k²=b²-4
l，l′的距离d=

|b?1|

1+k2

，
∴S