Question

如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度

如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．

Answer 1

（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12=2x，
解得：x=12；

（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t=12-2t，
解得t=4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．

（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵

AC＝AB ∠C＝∠B ∠AMC＝∠ANB

，
∴△ACM≌△ABN，
∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，
y-12=36-2y，
解得：y=16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒．

Answer 2

（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，

x×1+12=2x，

解得：x=12；



（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，

AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，

∵三角形△AMN是等边三角形，

∴t=12-2t，

解得t=4，

∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．



（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，

由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图②，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，

∴∠AMN=∠ANM，

∴∠AMC=∠ANB，

∵AB=BC=AC，

∴△ACB是等边三角形，

∴∠C=∠B，

在△ACM和△ABN中，

∠AMC＝∠ANB， ∠C＝∠B，   AC＝AB，

，

∴△ACM≌△ABN，

∴CM=BN，

设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，

∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，

y-12=36-2y，

解得：y=16．故假设成立．

∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒．