Question

已知函数f(x)＝mxx2+n(m，n∈R)在x=1处取得极值2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区

已知函数f(x)＝mxx2+n(m，n∈R)在x=1处取得极值2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（t，2t+1）上是单调函数，求实数t的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x2-2ax+a，若对于任意的x1∈R，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≤f（x1），求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）f′（x）=

m(x2+n)?mx?2x

(x2+n)2

=

?m(x2?n)

(x2+n)2

，
由题意得

f′(1)＝ ?m(1?n) (1+n)2 ＝0 f(1)＝ m 1+n ＝2

，解得

m＝4 n＝1

，
∴f（x）=

4x

x2+1

．
（II）f′（x）=

?4(x2?1)

(x2+1)2

，令f'（x）=0，得x=-1或x=1
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

∴f（x）的减区是（-∞，-1），（1，+∞）；增区间是（-1，1）．
∵函数f（x）在区间（t，2t+1）上是单调函数，
∴

t＜?1 2t+1≤?1 t＜2t+1

，或-1≤t＜2t+1≤1，或

t≥1 2t+1＞1 t＜2t+1

，
解得-1＜t≤0或t＞1．
故实数t的取值范围是（-1，0]∪（1，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2，
在x=1处取得极大值f（1）=2
又∵x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x）的最小值为-2，（10分）
∵对于任意的x₁∈R，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁）
∴当x∈[-1，1]时，g（x）最小值不大于-2，
又g（x）=x²-2ax+a=（x-a）²+a-a²
当a≤-1时，g（x）的最小值为g（-1）=1+3a，
由1+3a≤-2，得a≤-1，（11分）
当a≥1时，g（x）最小值为g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3
当-1＜a＜1时，g（x）的最小值为g（a）=a-a²
由a-a²≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，
所以此时a不存在．（12分）
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．（13分）．