Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1），且其右焦点到直线x-y+2 2 =0的

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1），且其右焦点到直线x-y+2 2 =0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M，N，且AN=AM？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1）， 由题意，可设椭圆的方程 x 2 a   2 +y   2 =1 (a＞1) ，则其右焦点F（ a   2 -1 ，0） 所F到直线x-y+2 2 =0的距离d=3，解得a 2 =3 所以椭圆的方程 x 2 3 +y   2 =1 （4分） （2）设存在直线l， 设其方程为：y=kx+b， y=kx+b x 2 3 +y   2 =1 消去y得：（3k 2 +1）x 2 +6bkx+3b 2 -3=0①， 设M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ）， △=64b 2 k 2 -4（1+3k 2 ）（3b 2 -3）＞0，1+3k 2 -b 2 ＞0②， ∴ x 1 + x 2 =- 6bk 1+3 k 2 ∴ y 1 + y 2 = 2b 1+3 k 2 MN的中点P的坐标 (- 3bk 1+3 k 2 ， b 1+3 k 2 ) ， 因AN=AM，所AP是线MN的垂直平分线，∴AP⊥MN， 根据斜率之积为-1，可得： b= 3k   2 +1 2 ，将其代入②并整理（3k 2 +1）（k 2 -1）＜0 ∴-1＜k＜1故存在满足条件的直l，其斜率的取值范围-1＜k＜1，k≠0．（12分）