Question

已知函数f(x)＝ax 2 －(a＋2)x＋ln x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>

已知函数f(x)＝ax 2 －(a＋2)x＋ln x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围；(3)若对任意x 1 ，x 2 ∈(0，＋∞)，x 1 <x 2 ，且f(x 1 )＋2x 1 <f(x 2 )＋2x 2 恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）y＝－2. （2）[1，＋∞) （3）[0,8]

(1)当a＝1时，f(x)＝x 2 －3x＋ln x，f′(x)＝2x－3＋ . 因为f′(1)＝0，f(1)＝－2. 所以切线方程是y＝－2. (2)函数f(x)＝ax 2 －(a＋2)x＋ln x的定义域是(0，＋∞)． 当a>0时，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋ ＝  (x>0)， 令f′(x)＝0，即f′(x)＝ ＝ ＝0， 所以x＝ 或x＝ . 当0< ≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增， 所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2； 当1< <e时，f(x)在[1，e]上的最小值是f <f(1)＝－2，不合题意； 当 ≥e时，f(x)在(1，e)上单调递减， 所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(e)<f(1)＝－2，不合题意． 综上a的取值范围是[1，＋∞)． (3)设g(x)＝f(x)＋2x，则g(x)＝ax 2 －ax＋ln x， 只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可． 而g′(x)＝2ax－a＋ ＝ ， 当a＝0时，g′(x)＝ >0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x∈(0，＋∞)，只要2ax 2 －ax＋1≥0，则需要a>0， 对于函数y＝2ax 2 －ax＋1，过定点(0,1)，对称轴x＝ >0，只需Δ＝a 2 －8a≤0， 即0<a≤8. 综上a的取值范围是[0,8]．