Question

已知集合A={x∈R|mx 2 -2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：（Ⅰ）A=?；（Ⅱ）A恰有两个子集；

已知集合A={x∈R|mx 2 -2x+1=0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：（Ⅰ）A=?；（Ⅱ）A恰有两个子集；（Ⅲ）A∩（ 1 2 ，2）≠?

Answer 1

（Ⅰ）若A=?，则关于x的方程mx 2 -2x+1=0 没有实数解，则m≠0， 且△=4-4m＜0，所以m＞1； （3分） （Ⅱ）若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx 2 -2x+1=0 恰有一个实数解， 讨论：①当m=0时，x= 1 2 ，满足题意； ②当m≠0时，△=4-4m，所以m=1． 综上所述，m的集合为{0，1}．（3分） （Ⅲ）若A∩（ 1 2 ，2）≠?则关于x的方程mx 2 =2x-1在区间（ 1 2 ，2）内有解， 这等价于当x∈（ 1 2 ，2）时，求值域：m= 2 x - 1 x 2 =1-（ 1 x -1） 2 ∴m∈（0，1]（5分）