Question

已知圆O的圆心在y轴上，截直线l1：3x+4y+3=0所得弦长为8，且与直线l2：3x-4y+37=0相切，求圆O的方程

已知圆O的圆心在y轴上，截直线l1：3x+4y+3=0所得弦长为8，且与直线l2：3x-4y+37=0相切，求圆O的方程．

Answer 1

设圆心M（0，b），半径R．圆M交L₁于AB两点．AB=8，
做MN⊥L₁，交L₁于N点．则N平分AB． AN=4，
连AM，则AM=R． 
|MN|=

|4b+3|

32+42

=

|4b+3|

5

，
|AN|²+|MN|²=R²=16+

(4b+3)2

25

，
点M到直线L₂距离d=R（圆M与直线L₂相切），
d²=R²=

(37?4b)2

25

，
∴16+

(4b+3)2

25

＝

(37?4b)2

25

，
16×25=（37-3b+4b+3）（37-4b-4b-3），
8b=34-16×

25

40

=24，
b=3，
R²=

(37?4×3)2

25

=25，
∴圆M的方程为：x²+（y-3）²=25．