Question

已知函数f(x)在点x=1处可导,且limx趋向于1[f(x)/(x-1)]=2,则f(1)=

已知函数f(x)在点x=1处可导,且limx趋向于1[f(x)/(x-1)]=2,则f(1)=
麻烦告知如何求解limx趋向于1[0/(x-1)]

Answer 1

x趋于1时，分母x-1是趋于0的，而条件给出极限limf(x)/(x-1)=2是存在的，因此分子的极限也必须等于0，即x趋于1时limf(x)=0。因为limf(x)如果不等于0（例如等于∞或非零常数），则limf(x)/(x-1)必为∞，不可能等于2，而只有limf(x)=0时，所求极限构成0/0型未定式，极限才可能存在。由f(x)在x=1处可导，知f(x)在x=1处连续，因此x趋于1时有limf(x)=f(1)，即f(1)=0。

追问

那limx趋向于1[0/(x-1)]这要怎么解

追答

你把分子写成0是不对的，注意x=0和x趋于0是不完全相同的，本题中根据我前面的分析可以得出x趋于1时有limf(x)=0，但这不能直接带入到极限表达式limf(x)/(x-1)中写成0/(x-1)的，正确的理解是极限limf(x)/(x-1)是0/0型未定式（因此极限才可能等于非零常数2）。

追问

噢 谢谢

追答

没事，很高兴对你有帮助。