Question

已知x²+z²+y²=1，求（1+z）²/2xyz的最小值

Answer 1

这是2010年湖北赛题.
依条件式知，可设
x=cosθcosφ，
y=cosθsinφ，
z=sinθ
其中，θ、φ∈(0，π/2).
∴S=(1+z)²/2xyz
=(1+sinθ)²/(sinθcos²θsin2φ)
≥(1+sinθ)²/(sinθcos²θ)
=(1+sinθ)²/[sin(1-sin²θ)]
=(1+sinθ)/[sinθ(1-sinθ)].
令t=1+sinθ∈(0，2)，则
S=t/(-t²+3t-2)
=1/[-(t+2/t)+3]
≥3+2√2.
故t=√2→sinθ=√2-1时，
所求最小值为: 3+2√2。