Question

若直线y=kx 与曲线y=x^3-3x^2+2x相切，求k的值

Answer 1

解：
直线与曲线相切，直线与曲线有且只有一个交点。
y=kx，令x=0，得y=0
y=x³-3x²+2x，令x=0，得y=0
无论k取何实数，直线y=kx与曲线x³-3x²+2x恒有一交点(0，0)
令kx=x³-3x²+2x
整理，得x[x²-3x+(2-k)]=0
要直线与曲线有且只有一个交点，只有x²-3x+(2-k)=0无解。
判别式⊿=(-3)²-4(2-k)<0
整理，得4k<-1
k<-¼
k的取值范围为(-∞，-¼)

总结：
分析：
1、两曲线（直线是曲线的一种）相切，有且只有一个交点。此即为本题解题的出发点。
2、本题比较特殊(也因此解题变得很简单)，容易发现直线与曲线交点(0，0)，则直线与曲线没有其它任何交点。方程x²-3x+(2-k)=0判别式⊿<0。

Answer 2

曲线y=x^3-3x^2+2x
求导y'=3x^2-6x+2
设直线与曲线切点为（m，km）
则m^3-3m^2+2m=km 且3m^2-6m+2=k
当m=0时，不满足题意
当m≠0时，m^2-3m+2=k 3m^2-6m+2=k
故m^2-3m+2=3m^2-6m+2
得到m=1.5或0（舍去）
故k=3m^2-6m+2=-1/4