离散数学对错题20道
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离散数学对错题20道
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4个回答
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1）【正确】
∵易得R,S都包含于A×A,故R∪S包含于A×A，∴R∪S也是A上的二元关系.
∵aR∪Sb→(a,b)∈R∪S→(a,b)∈R或(a,b)∈S→aRb或bRa→bRa或aRb→(b,a)∈R或(b,a)∈S→(b,a)∈R∪S→bR∪Sa
∴R∪S也是对称的.
2）【错误】
根本错因在于一般情况下R·S≠S·R
反例：设a,b,c两两互异,R={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a)}.S={(a,a),(b,b),(c,c),
(b,c),(c,b)},容易验证R，S都是{a,b,c}上的等价关系，且
R·S={(x,y)|存在t∈A,s.t.(x,t)∈R且(t,y)∈S}={(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(c,b),(c,c)},
S·R={(x',y')|存在t'∈A,s.t.(x',t')∈S且(t',y')∈R}={(a,a),(a,b),(b,b),(b,a),(b,c),(c,c),(c,b),(c,a)},
易得(a,c)∈R·S,但(a,c)不属于S·R；所以存在a,c∈A,使得aR·Sc但不满足cR·Sa，
所以等价关系的合成不一定是等价关系。
=======================================================================
[附]根据合成关系R·S的定义,有 aR·Sb iff 存在t∈A,s.t.(a,t)∈R且(t,b)∈S
关键问题出在对称性：任取a,b∈A,有aR·Sb→(a,b)∈R·S→存在t∈A,s.t.(a,t)∈R且(t,b)∈S→存在t∈A,s.t.(t,a)∈R且(b,t)∈S→(b,a)∈S·R→bS·Ra，所以推到这一步，只能说aR·Sb→bS·Ra而不是aR·Sb→bR·Sa，所以说根本原因在于一般来说R·S≠S·R.
传递性在一般情况下应该也是不满足的，有兴趣的话自己找反例吧~
=======================================================================
[[后面不写把么详细了，给个思路，可以自己慢慢扩充]]
3）【错误】
反例：容易验证R={(a,b),(b,c),(c,a)}与S={(a,c),(c,b),(a,b)}是{a,b,c}上的传递关系,但(a,c),(c,a)∈R∪S，(c,c)却不属于R∪S.
4）【错误】
一看定义就知道肯定不对啊,“良序是良基的全序”,明显良序的定义要比全序强,全序都是良序，良序不一定是全序.
反例：(Z,≤)就是全序,但不是良序.
5）【正确】
当然..能举个例出来这个命题就成立了,这和4)的意思是类似的.
设A=“(X,≤)是良序”,B=“(X,≤)是全序”,
则A→B，但没有B→A，所以A≠B.
6）【错误】
设f:N→N,f(0)=0,f(n)=n-1(n>0),
g:N→N,g(m)=m+1；
则易得f·g=I(N)为双射,但g非满射,因为0∈N但0不属于g(N).
7）【正确】
∵A含于B,∴x∈A→x∈B,∴x∈A∪B→(x∈A或x∈B)→(x∈B或x∈B)→x∈B，x∈B→x∈A∪B显然，∴x∈A∪B iff x∈B，∴A∪B=B.
8）【正确】
偏序集的子集若有下(上)确界,则上(下)确界唯一,可用反证法证明，不详述，关于确界学数学分析的时候也很有用，这里提一下.
9）【错误】
谓词“都是”的否定应该是“不都是”,所以否命题应该是“张明和李红不都是三好学生”.
关于“都不是”和“不都是”的区别，应该很清楚吧，就单从语义上来理解也很清楚的~
10）【正确】
从“自反性”的定义一步就出来了(注意到I(A)={(x,x)|x∈A}）.
11）【正确】
太明显了...
12）【正确】
例子：A={1},B={1,{1}}就是一个满足的例子.
13）【正确】
由I(A)∪I(B)=I(A∪B),可从10)的结论直接得证.
14）【正确】
(a1,a2)R^2(b1,b2),(b1,b2)R^2(c1,c2)→(a1,a2),(b1,b2)∈R且
(b1,b2),(c1,c2)∈R→(a1,a2),(c1,c2)∈R→(a1,a2)R^2(c1,c2)
所以只要R是关系，不论R是否传递，R^2=R×R都是传递的.
15）【正确】
和10）一样，也是由定义直接出结论：R反传递 iff (任取a,b∈A有(a,b)∈R,(b,a)∈R→a=b) iff (任取a,b∈A，有(a,b)∈R交R^-1→(a,b)∈I(A)) iff (R交R^-1=I(A)).证毕.
16）【正确】
任取集合A上等价关系R,任取a∈R,[a]={b∈A|aRb},易证{[a]|a∈R}是A关于R的一个划分，
也就是A关于R的等价类A/R.
17）【错误】
反例见2).
18）【正确】
没有联结词或标点符号.
19）【正确】
摆明的事情.要证明集合相等的话，通法是证明双向包含.
20）【错误】
是原子命题.“红色和黄色可以调成桔黄色”=“红色和黄色 可以调和成 桔黄色”，
而≠“红色可以调和成桔黄色 且 黄色可以调和成桔黄色”，这点要弄清.
∵易得R,S都包含于A×A,故R∪S包含于A×A，∴R∪S也是A上的二元关系.
∵aR∪Sb→(a,b)∈R∪S→(a,b)∈R或(a,b)∈S→aRb或bRa→bRa或aRb→(b,a)∈R或(b,a)∈S→(b,a)∈R∪S→bR∪Sa
∴R∪S也是对称的.
2）【错误】
根本错因在于一般情况下R·S≠S·R
反例：设a,b,c两两互异,R={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a)}.S={(a,a),(b,b),(c,c),
(b,c),(c,b)},容易验证R，S都是{a,b,c}上的等价关系，且
R·S={(x,y)|存在t∈A,s.t.(x,t)∈R且(t,y)∈S}={(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(c,b),(c,c)},
S·R={(x',y')|存在t'∈A,s.t.(x',t')∈S且(t',y')∈R}={(a,a),(a,b),(b,b),(b,a),(b,c),(c,c),(c,b),(c,a)},
易得(a,c)∈R·S,但(a,c)不属于S·R；所以存在a,c∈A,使得aR·Sc但不满足cR·Sa，
所以等价关系的合成不一定是等价关系。
=======================================================================
[附]根据合成关系R·S的定义,有 aR·Sb iff 存在t∈A,s.t.(a,t)∈R且(t,b)∈S
关键问题出在对称性：任取a,b∈A,有aR·Sb→(a,b)∈R·S→存在t∈A,s.t.(a,t)∈R且(t,b)∈S→存在t∈A,s.t.(t,a)∈R且(b,t)∈S→(b,a)∈S·R→bS·Ra，所以推到这一步，只能说aR·Sb→bS·Ra而不是aR·Sb→bR·Sa，所以说根本原因在于一般来说R·S≠S·R.
传递性在一般情况下应该也是不满足的，有兴趣的话自己找反例吧~
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3）【错误】
反例：容易验证R={(a,b),(b,c),(c,a)}与S={(a,c),(c,b),(a,b)}是{a,b,c}上的传递关系,但(a,c),(c,a)∈R∪S，(c,c)却不属于R∪S.
4）【错误】
一看定义就知道肯定不对啊,“良序是良基的全序”,明显良序的定义要比全序强,全序都是良序，良序不一定是全序.
反例：(Z,≤)就是全序,但不是良序.
5）【正确】
当然..能举个例出来这个命题就成立了,这和4)的意思是类似的.
设A=“(X,≤)是良序”,B=“(X,≤)是全序”,
则A→B，但没有B→A，所以A≠B.
6）【错误】
设f:N→N,f(0)=0,f(n)=n-1(n>0),
g:N→N,g(m)=m+1；
则易得f·g=I(N)为双射,但g非满射,因为0∈N但0不属于g(N).
7）【正确】
∵A含于B,∴x∈A→x∈B,∴x∈A∪B→(x∈A或x∈B)→(x∈B或x∈B)→x∈B，x∈B→x∈A∪B显然，∴x∈A∪B iff x∈B，∴A∪B=B.
8）【正确】
偏序集的子集若有下(上)确界,则上(下)确界唯一,可用反证法证明，不详述，关于确界学数学分析的时候也很有用，这里提一下.
9）【错误】
谓词“都是”的否定应该是“不都是”,所以否命题应该是“张明和李红不都是三好学生”.
关于“都不是”和“不都是”的区别，应该很清楚吧，就单从语义上来理解也很清楚的~
10）【正确】
从“自反性”的定义一步就出来了(注意到I(A)={(x,x)|x∈A}）.
11）【正确】
太明显了...
12）【正确】
例子：A={1},B={1,{1}}就是一个满足的例子.
13）【正确】
由I(A)∪I(B)=I(A∪B),可从10)的结论直接得证.
14）【正确】
(a1,a2)R^2(b1,b2),(b1,b2)R^2(c1,c2)→(a1,a2),(b1,b2)∈R且
(b1,b2),(c1,c2)∈R→(a1,a2),(c1,c2)∈R→(a1,a2)R^2(c1,c2)
所以只要R是关系，不论R是否传递，R^2=R×R都是传递的.
15）【正确】
和10）一样，也是由定义直接出结论：R反传递 iff (任取a,b∈A有(a,b)∈R,(b,a)∈R→a=b) iff (任取a,b∈A，有(a,b)∈R交R^-1→(a,b)∈I(A)) iff (R交R^-1=I(A)).证毕.
16）【正确】
任取集合A上等价关系R,任取a∈R,[a]={b∈A|aRb},易证{[a]|a∈R}是A关于R的一个划分，
也就是A关于R的等价类A/R.
17）【错误】
反例见2).
18）【正确】
没有联结词或标点符号.
19）【正确】
摆明的事情.要证明集合相等的话，通法是证明双向包含.
20）【错误】
是原子命题.“红色和黄色可以调成桔黄色”=“红色和黄色 可以调和成 桔黄色”，
而≠“红色可以调和成桔黄色 且 黄色可以调和成桔黄色”，这点要弄清.
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