Question

高一数学题，求解： 函数f（x）定义域为（0,+∞），且对一切x>0，y>0都有f（x/y）=f

高一数学题，求解：

函数f（x）定义域为（0,+∞），且对一切x>0，y>0都有f（x/y）=f（x）-f（y），当x>1时，有f（x）>0。

（1）求f（1）的值。（√）
（2）判断f（x）的单调性并加以证明。
（3）若f（4）=2，求f（x）在区间[1,16]上的值域。

我打了勾的小问不用做，别的需要思路分析，以及详细的过程。最好请写在一张白纸上

Answer 1

追答

最后写错了 见谅 区间改为[0，4]

Answer 2

(1)

令x=y=1

f(1/1)=f(1)-f(1)

f(1)=0

(2)

令x2>x1>0，则x2/x1>1，f(x2/x1)>0

f(x2/x1)=f(x2)-f(x1)

f(x2)-f(x1)>0

f(x2)>f(x1)

函数在(0，+∞)上单调递增

(3)

令x=1

f(1/y)=f(1)-f(y)=0-f(y)=-f(y)

令x=4，y=1/4

f[4/(1/4)]=f(16)=f(4)-f(1/4)=f(4)-[-f(4)]=2f(4)=2×2=4

又函数(0，+∞)上单调递增，函数在区间[0，16]上的值域为[0，4]