Question

判定二次型正定性的问题，这个二次型已经正定了啊，它的正惯性指数就等于阶数了，感觉a取任何值都是正定

判定二次型正定性的问题，这个二次型已经正定了啊，它的正惯性指数就等于阶数了，感觉a取任何值都是正定？

Answer 1

我知道你的意思了

你是说，题目已经用配方法将二次型化为了标准型

正惯性指数＝3个平方项的正系数之和＝3

这里忽略了一个条件，就是做的线性变换必须是可逆的

也就是题目中的方程组系数的秩＝3

等价于系数行列式≠0

这样才能保证变换前后的惯性指数不变

题中，变换后的正惯性指数＝3

如果变换是可逆的

则，原二次型的正惯性指数＝3，二次型正定

如果变换不可逆

则，原二次型的正惯性指数≠3，二次型非正定

过程如下：

追问

你这样一说就明白了，谢谢

Answer 2

求惯性指数，你要么求其特征值，要么化为对角型，无论哪一种，有个待定的参数，都没法求。我倒是很好奇，你的正惯性指数怎么得来的？这里用的正定的定义，对于任意非零向量x=[x1,x2...xn]，都有f(x1，x2,...xn)>0。

追问

不是已经是平方项的形式了吗？平方项系数都为1啊

追答

你好好看看正定的标准形式，它是在没有交叉项情况下所有变量的平方和形式。但这不是标准型~~

追问

哦 意思就是说这道题第一个括号的平方和第三个括号的平方，同时存在x1x2和x3就不行了是吧

追答

你还没理解，你说的看平方项的系数，是针对标准型的，什么是标准型？各个变量的平方和，当然还有系数。

但题目给的不是标准型，你不能这么看，又由于有参数，没法对角化或者求特征值(求应该也行，但计算比较多)，所以只能用定义洛。

追问

用y1y2y3分别等于括号里的那些项，不就是标准形了

追答

但你这样替换形成的变换矩阵是否可逆你是不能确定的。