Question

已知函数f(x)=lnx-1/2ax²(a∈R)讨论函数f(x)在区间[1,e²]上的零点个数

Answer 1

f(x)=lnx-1/2ax² x∈[1,e²]
f'(x)=1/x-ax=(1-ax²)/x
当a≤0时，f'(x)>0 f(x)单调递增
f(1)=-½a≥0 f(x)≥f(1)≥0 a=0时 有一个零点，a<0 无零点
a>0时
驻点：x=1/√a
极大值=-½ln(a)-1/2 单调递减
∴当a>1/e 极大值<0 无零点
a=1/e 驻点x=√e∈[1,e²] 有一个零点。
0<a<1/e
f(1)=-½a<0
极大值点x₀=1/√a>√e>1
当a<1/e⁴ 时x₀>e²，区间[1,e²]在x₀的左侧单调递增，f(e²)=2-½ae⁴≥1.5>0，有一个零点
当1/e⁴≤a<1/e时,极大值点x₀∈[1,e²]
当1/e⁴≤a<4/e⁴ 时f(e²)>0 有一个零点
当4/e⁴≤a<1/e时，f(e²)≤0 有二个零点。
综上：a∈(-∞,0)∪(1/e,+∞)时 无零点；
a∈[0,4/e⁴)∪[1/e] 有一个零点
a∈[4/e⁴,1/e) 有二个零点