Question

若复系数非零多项式f(x)没有重因试,证明:(f(x) f'(x),f(x))=1

Answer 1

若f(x)有整数根，设为p，且设f(x)的次数为m，
则(x-p)是它的一个因式(不管是几重因式)，
则f(x)=(x-p)[a(m-1)·x^(m-1)+a(n-2)·x^(m-2)+……+a(1)·x+a(0)]
（上面的式子中，a(i)表示下标）
于是，
f(0)=-p·a(0)

f(1)=(1-p)[[a(n-1)+a(n-2)+……+a(1)+a(0)]
f(2)=(2-p)[[a(m-1)·2^(m-1)+a(n-2)·2^(m-2)+……+a(1)·2+a(0)]
而f(0)、f(1)、f(2)都不能被3整除，
则p≡1或2（mod 3）、a(0)≡1或2（mod 3）
无论p≡1或2（mod 3），均有，
1-p≡0（mod 3）或2-p≡0（mod 3），
此时必有f(1)≡0（mod 3）或f(2)≡0（mod 3），
与f(1)、f(2)都不能被3整除矛盾。

因而，f(x)无法有整数根存在。