Question

已知函数f(x)=−x2+(3−2m)x+2+m(0<m<1). (Ⅰ)若x∈[0,m],证明：f(x)<10/3(为什么答

已知函数f(x)=−x2+(3−2m)x+2+m(0<m<1). (Ⅰ)若x∈[0,m],证明：f(x)<10/3(为什么答案说（m-1）^2+13/4<13/4!

Answer 1

∵f（x）＝－x^2＋（3－2m）x＋2＋m，∴f′（x）＝－2x＋3－2m，
令f′（x）＝0，得：x＝（3－2m）/2＝3/2－m。
∵0＜m＜1，∴－1＜－m＜0，∴1/2＜3/2－m＜3/2，
∴f（x）可在x＝（3－2m）/2处取得最大值。
∴f（x）的最大值
＝f［（3－2m）/2］
＝－［（3－2m）/2］^2＋（3－2m）［（3－2m）/2］＋2＋m
＝（9－12m＋4m^2）/4＋2＋m
＝（1/4）（9－12m＋4m^2＋8＋4m）
＝（1/4）（4m^2－8m＋17）
＝（1/4）（4m^2－8m＋4）＋13/4
＝（m－1）^2＋13/4。
∵0＜m＜1，∴m－1＜0，∴（m－1）^2＞0，
∴f（x）的最大值＜13/4＝39/12＜40/12＝10/3。
∴f（x）＜10/3。

Answer 2

f（x）＝－x^2＋（3－2m）x＋2＋m
x＝-b/2a=（3－2m）/2＝3/2－m。
∵0＜m＜1，∴－1＜－m＜0，∴1/2＜3/2－m＜3/2，
∴f（x）可在x＝（3－2m）/2处取得最大值。
∴f（x）的最大值=(4ac-b*b)/4a
＝－［（3－2m）/2］^2＋（3－2m）［（3－2m）/2］＋2＋m
＝（9－12m＋4m^2）/4＋2＋m
＝（1/4）（9－12m＋4m^2＋8＋4m）
＝（1/4）（4m^2－8m＋17）
＝（1/4）（4m^2－8m＋4）＋13/4
＝（m－1）^2＋13/4。
∴f（x）的最大值=（m-1)(m-1)+13/4
我们可取m=3/4,计算则x=3/2-3/4=3/4,最大值为f(x)=（3/4-1）(3/4-1)+13/4=53/16；
但是，因为已知x∈[0,m],所以当0<m=<3/4时，函数f(x)的最大值是f(m)而不是f(3/2-m)，函数f(m)=-3m*m+4m+2在（0，3/4）的最大值是是53/16，当3/4=<m<1时，函数f(x)的最大值是f(3/2-m)=（m-1)(m-1)+13/4<53/16
所以函数f(x)在[0，m]时，只有在m=3/4时才有极大值53/16=159/48<160/48=10/3

Answer 3

答案拍出来看看，我不太信。

追问

不能贴图，你先自己解呗

追答

好吧，无解