Question

已知函数f(x)＝12x2−ax+(a−1)lnx？

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据函数在切点处的导数值是函数的切线斜率求出切线的斜率，据直线方程的点斜式求出函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ）求出函数的导数，令导数为零求出两根，讨论两根的大小，判断出导数在各个区间上的正负，求出函数的单调区间．
（Ⅰ）当a=2时，f(x)＝
1
2x2−2x+lnx
∴f′(x)＝x−2+
1
x
∴f(1)＝
1
2−2＝−
3
2，f'（1）=0
切线方程为y＝−
3
2…（4分）
（Ⅱ）定义域（0，+∞）
f′(x)＝x−a+
a−1
x＝
x2−ax+(a−1)
x＝
(x−1)(x+1−a)
x
令f'（x）=0，解得x1=1，x2=a-1
①当a=2时，f'（x）≥0恒成立，则（0，+∞）是函数的单调递增区间
②当a＞2时，a-1＞1，
在区间（0，1）和（a-1，+∞）上，f'（x）＞0；在（1，a-1）区间上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a-1，+∞），单调递减区间是（1，a-1）
③当1＜a＜2时，在区间（0，a-1）和（1，+∞）上，f'（x）＞0；在（a-1，1）区间上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，a-1）和（1，+∞），单调递减区间是（a-1，1）
④当a≤1时，a-1≤0，在区间（0，1）上f'（x）＜0，在区间（1，+∞）上，f'（x）＞0，
故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．
总之，当a=2时，（0，+∞）是函数的单调递增区间
②当a＞2时，f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a-1，+∞），单调递减区间是（1，a-1）
③当1＜a＜2时，f（x）的单调递增区间是（0，a-1）和（1，+∞），单调递减区间是（a-1，1）
④当a≤1时，f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．…（13分）
,1,已知函数 f(x)＝ 1 2 x 2 −ax+(a−1)lnx
（Ⅰ）若a=2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间．