Question

证明:若f(x)在(-∞，+∞)内连续，且lim(x→∞)f(x)存在，则f(x)必在(-∞，+∞

证明:若f(x)在(-∞，+∞)内连续，且lim(x→∞)f(x)存在，则f(x)必在(-∞，+∞) 内有界

Answer 1

因为lim(x->∞)f(x)存在，所以存在正数D，使对所有|x|>D，f(x)有界

因为f(x)在(-∞,+∞)连续，所以f(x)在[-D,D]上连续，即f(x)在[-D,D]上有界

综上，f(x)在(-∞,+∞)上有界

连续的概念

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

常用的连续性的最根本定义是在拓扑学中的定义，在条目连续函数 (拓扑学)中会有详细论述。在序理论特别是域理论中，有从这个基础概念中得出的另一种抽象的连续性：斯科特连续性。

Answer 2

因为lim(x->∞)f(x)存在，所以存在正数D，使对所有|x|>D，f(x)有界
因为f(x)在(-∞,+∞)连续，所以f(x)在[-D,D]上连续，即f(x)在[-D,D]上有界
综上，f(x)在(-∞,+∞)上有界

Answer 3

证明：令lim(x→∞)=a
则一定存在正整数X,使得当lxl>X时，lf(x)-al<ε，
当x在[-X,X]之间时必定存在最大值与最小值，则m<f(x)<M,
当x在其他(-∞，-X)与(X，+∞)时，a-ε<f(x)<a+ε,取M与a+ε中的最大值为q，a-ε与m中的最小值为p,则f(x)在p与q之间，则有界

Answer 4

优质解答
设lim(x→∞）f（x）=a,则存在X>0, 当|x|>X有|f（x）－a|