Question

请问有没有哪位大神能够具体用数学原理解释一下为什么加减法不能用等价无穷小，有人说了却不解释原因

请问有没有哪位大神能够具体用数学原理解释一下为什么加减法不能用等价无穷小，有人说了却不解释原因我就是觉得这么做好像有道理，但是结果却并不正确，求教啊，十分困惑

Answer 1

加减法一样可以用等价无穷小
只是往往得用更高阶的等价无穷小
因为加减法本身就可能产生1阶或更高阶无穷小
这样就使得无穷小升级了
必须用更高阶的无穷小来替换了
.
例如：x-sinx的等价无穷小是x^3/6
因为减法把1阶无穷小减掉了
剩下的是3阶无穷小
如果用x取代sinx就错了
而用x-x^3/6取代sinx才对
.
所以最好的办法是使用洛必达法则
尽量不要用无穷小替换
一定要用的话
就要2阶甚至3阶无穷小替换
即用x-x^3/6替换sinx
这样就变得复杂了
不如用洛必达法则
.
初学者都比较喜欢用无穷小替换
就要特别注意有错误陷阱了
错了都不知道

Answer 2

我不是大神，我也不懂公认的数学原理，我尝试理解一下：
于x=0处因变量收敛为0的函数，因为探讨x->0，所以因变量->无穷小值，因为探讨x=0，所以因变量有极限值，但无穷小≠极限值。
题主疑惑的“0/0”型可用等价无穷小转换，是因为 x处于原点时分子的极限值 与 x处于最接近原点的x0时分子的无穷小值 之间的差 与分母相比，仍旧比无穷小的分母还要无穷小，单独理解差距部分与分母的商为（0^n）/0（n->∞），为了方便学习等价无穷小（一种在更精确的层面来说不甚严谨的方法），故而差距部分忽略，视为分子整体与分母为等价无穷小；而“0-0”型不可用则是没有分式了，不存在视“0”与“0”为等价无穷小的概念，差距没必要忽略，道理即是如此。
分解一下题主给的题目，4个部分，左边分式的分子与分母、右边分式的分子与分母
①探讨x->0时
左边分式的分子：
1-cosx -> 1-[1-△(cosx2-cox1)]
右边分式的分子
x-ln(1+tanx) ->[0±△（x2-x1)]-[ln(1+（0+△(tanx2 -tanx1))）]
左右两边分式的分母
(sinx)^2 -> [0±△(sinx2-sinx1)] ^2
②设存在一个距离原点x=0处无穷近的点x0=△x，x0-x=△x
则任一个函数的导数在原点的值与△x的乘积，为该函数在点x0与原点的因变量值的差。
左边分式的分子：
1-cosx -> 1-[1-△(cosx2-cox1)]->[cosx]'(x=0)×△x
右边分式的分子
x-ln(1+tanx) ->[0±△（x2-x1)]-[ln(1+（0±△(tanx2 -tanx1))）]->[±x]'(x=0)×△x - ln(1±[tanx]'(x=0)× △x)
左右两边分式的分母
(sinx)^2 -> [0±△(sinx2-sinx1)] ^2->(±[sinx]'(x=0)×△x)^2
我的理解就到此为止了（偷个懒），接下来就是计算问题（注意，不要相信自己所学的求导知识，谨慎地求导）你会发现以前的惯用的求导结果有些其实不怎么严谨。。
有现成的方法就是去理解泰拉展开式的合理性。。然后用泰拉展开式拓展上题中的函数，先求无穷小，再求极限值，你能更快理解之前的不明白之处。

Answer 3

按照你的做法 那我直接ln（1+tanx）~tanx~x

然后x-x=0 整个结果就是0了 岂不是比你的更好？
举个例子 lim（x-sinx）/x^3 按照你的做法直接 sinx~x ，然后结果又是0了，
实际上sinx~x-(x^3)/6，所以上面的极限是1/6 这个例子就是说 两个无穷下在作加减的时候 ，是没有把更高阶的o（x^n）考虑进去 。而这个o（x^n）明显是决定极限的。等价无穷小不是说两个无穷小是相等的。