Question

数学高数极限间断点的题目！！求大神

求函数sin(x-1)/x(x-1)的间断点和类型，一定要有过程啊，越详细越好！！

Answer 1

x=0，极限=sin(x-1)/-x=sin1/-x，左极限为正无穷，右极限为负无穷。
x=1，极限=sin(x-1)/(x-1)，极限为1，不是间断点

Answer 2

这个函数有两个无定义点，0和1，x趋向于0+和0-时，函数均趋向于无穷大，即是无穷间断点，也就是第二类间断点。
x趋向于1+和1-时，函数趋向于1，所以1是可去间断点，也就是第一类间断点。

追问

我想问一下课本上说的在x趋近于0时，sinx与x是等价无穷小，可以代换，这个有一项是sin(x-1)和（x-1）可以看成当x趋近于1时的，他们俩个互为等价无穷小吗？然后得出x趋近于1时，极限趋近于1所以为第一类间断点？

还是说当x趋近于1时，注意这里是x趋近于1，仍然有sin(x-1)与x-1是等价无穷小？

追答

sin里是啥都无所谓，只要趋近于0就是等价无穷小sin(🐶)=🐶，🐶→0这样

追问

那这个x趋近于1，时应该怎么化解求极限。。能写下过程吗？

追答

你写的没错，lim(x趋近于1)sin(x-1)/(x(x-1))=lim(x趋近于1)(x-1)/(x(x-1))=lim(x趋近于1)1/x=1，当然趋近于1+和1-时都是趋近于1的，左右极限相等，所以是可去间断点。

追问

。。既然这样，当x趋近于0时，sin(x-1)和x-1还是等价无穷小吗？当x趋近于0时，这样sin(x-1)不就不是无穷小量了吗？不就没法代换了吗？这样怎么求当x趋近于0时的极限啊。。最好有过程，谢谢大神啊

追答

当x趋于0的时候，当然就没办法等价无穷小了。这个时候分子是趋向于sin-1的，这是一个正数，而分母是趋向于0的，0是最高级的无穷小，一个正数除以无穷小，就是无穷大。这里趋向于0+和0-又是不一样的，一个趋向于正无穷，一个趋向于负无穷。