Question

∫ln(1+x^2)dx

不定积分

Answer 1

∫ ln(1+x²) dx

=xln(1+x²)-∫ xd[ln(1+x²)]

=xln(1+x²)-∫ [x*2x/(1+x²)]dx

=xln(1+x²)-2∫ x²/(1+x²)dx

=xln(1+x²)-2∫ [1-1/(1+x²)]dx

=xln(1+x²)-2x+2arctanx+C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

用分部积分法，
(uv)'=u'v+uv',
设u=ln(1+x^2),v'=1,
u'=2x/(1+x^2),v=x,
原式=xln(1+x^2)-2∫x^2dx/(1+x^2)
=xln(1+x^2)-2∫(1+x^2-1)dx(1+x^2)
=xln(1+x^2)-2∫dx+2∫dx/(1+x^2)
=xln(1+x^2)-2x+2arctanx+C.

Answer 3

引用江南的天堂的回答：
用分部积分法，
(uv)'=u'v+uv',
设u=ln(1+x^2),v'=1,
u'=2x/(1+x^2),v=x,
原式=xln(1+x^2)-2∫x^2dx/(1+x^2)
=xln(1+x^2)-2∫(1+x^2-1)dx(1+x^2)
=xln(1+x^2)-2∫dx+2∫dx/(1+x^2)
=xln(1+x^2)-2x+2arctanx+C.

倒数第三行有错误
2∫(1+x^2-1)dx(1+x^2)要改为
2∫(1+x^2-1)/(1+x^2)dx