Question

怎样求∫ln(1+x2)dx的不定积分？

请各位友友尽量详细点，最好附带一些文字说明！谢谢~~越快越好！

Answer 1

分部积分法：∫ uv' dx = uv - ∫ vu' dx，复杂的函数充当u，简单的充当v
这里u = ln(1 + x²)，v = x
u' = 2x/(1 + x²) dx，v' = (1) dx
∫ uv' dx = ∫ ln(1 + x²) dx
= uv - ∫ vu' dx
= xln(1 + x²) - ∫ x * 2x/(1 + x²) dx
= xln(1 + x²) - 2∫ x²/(1 + x²) dx
= xln(1 + x²) - 2∫ [(1 + x²) - 1]/(1 + x²) dx
= xln(1 + x²) - 2∫ [1 - 1/(1 + x²)] dx
= xln(1 + x²) - 2[x - arctan(x)] + C，∫ dx/(1 + x²) = arctan(x)
= xln(1 + x²) - 2x + 2arctan(x) + C

Answer 2

∫ln(1+x^2)dx (直接分步积分）
=xln(1+x^2)-∫x*[ln(1+x^2)]'dx
=xln(1+x^2)-∫x*2x/(1+x^2)dx
=xln(1+x^2)-2∫(x^2+1-1)/(1+x^2)dx

=xln(1+x^2)-2∫[1-1/(1+x^2)]dx

=xln(1+x^2)-2∫dx+2∫[1/(1+x^2)]dx

=xln(1+x^2)-2x+2∫[1/(1+x^2)]dx
=xln(1+x^2)-2x+2arctanx+c

Answer 3

先把dx变成dx2
也就是dx=二分之一dx2
之后因为dx=d（x+C）
所以dx=二分之一dx2=二分之一d（1+x2)
之后就会了吧
用分部积分法，
∫lnxdx=xlnx-x+C

Answer 4

∫ln(1+x2)dx
=xln(1+x²)-2x+2arctanx+C