Question

y=sinx+cosx+sin2x的值域怎么算

Answer 1

解：
y=sinx+cosx+sin(2x)
=√2[(√2/2)sinx+(√2/2)cosx]+cos(π/2-
2x)
=√2cos(x-π/4)+cos[2(x-π/4)]
=√2cos(x-π/4)+2cos²(x-π/4)-1
=[2cos²(x-π/4)+√2cos(x-π/4)]
-1
=2[cos(x-π/4)+√2/4]²-
5/4
-1≤cos(x-π/4)≤1
cos(x-π/4)=1时，y有最大值ymax=2(1+√2/4)²-
5/4=1+√2
cos(x-π/4)=-√2/4时，y有最小值ymin=-5/4
综上，得函数的值域为[-5/4，1+√2]
解题思路：
通过三角恒等边形，变为配方的形式。将cos(x-π/4)看做自变量，转化为熟悉的二次函数求最大值、最小值问题。注意到-1≤cos(x-π/4)≤1，即自变量cos(x-π/4)的取值区间为[-1，1]，由此求得函数y的最大值、最小值，从而得到函数的值域。